Διαφορική Γεωμετρία

Το σύγγραμμα αυτό αναφέρεται στη Διαφορική Γεωμετρία των καμπυλών και των επιφανειών του τρισδιάστατου πραγματικού χώρου.

Ειδικότερα στη Διαφορική Γεωμετρία, Μέρος Ι, δίνονται στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης, όπως: Όριο, Συνέχεια, Παράγωγος και Ολοκλήρωση Διανυσματικών Συναρτήσεων.

Στη συνέχεια μελετώνται:

• Η τοπική θεωρία των καμπυλών με ιδιαίτερη έμφαση στις έννοιες: μήκος τόξου καμπύλης, συνοδεύον τρίεδρο του Frenet, Καμπυλότητα, Στρέψη ομαλής καμπύλης και το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των καμπυλών
• Η ολική θεωρία καμπυλών με ιδιαίτερη έμφαση στη γενίκευση της έννοιας της καμπυλότητας, στην ισοπεριμετρική ανισότητα και το θεώρημα των τεσσάρων κορυφών
• Η θεωρία περιβαλλουσών 1-παραμετρικών και 2-παραμετρικών οικογενειών καμπυλών και επιφανειών.

Στη Διαφορική Γεωμετρία, Μέρος ΙΙ, μελετώνται:

• Οι θεμελιώδεις έννοιες των επιφανειών, όπως η έννοια της επιφάνειας, το εφαπτόμενο επίπεδο και η κάθετη ευθεία σε σημείο επιφάνειας, το μήκος καμπυλών κειμένων σε επιφάνεια, καθώς και η πρώτη θεμελιώδης διαφορική τετραγωνική μορφή.
• Η Δεύτερη θεμελιώδης διαφορική τετραγωνική μορφή με έμφαση στην Καμπυλότητα Gauss και στη μέση καμπυλότητα επιφάνειας. Επίσης, δίνονται οι θεμελιώδεις εξισώσεις του Gauss, η χαρακτηριστική εξίσωση του Gauss (Theorema Egregium - θαυμαστό θεώρημα) και οι εξισώσεις των Mainardi - Codazzi. Επίσης, γίνεται μελέτη διαφόρων επιφανειών, όπως των κυλινδρικών, των κωνικών, των ελικοειδών κ.λ.π.
• Η εσωτερική Γεωμετρία των επιφανειών, ειδικότερα οι γεωδαισιακές γραμμές επιφανειών, το ολικό θεώρημα των Gauss-Bonnet και τα διάφορα είδη απεικονίσεων μεταξύ επιφανειών. Τέλος εξετάζεται και η έννοια της παραλληλίας κατά Levi-Civita.